约束力学系统的对称性与正则坐标方法研究

【摘要】正则坐标是通过坐标变换得到的，该坐标变换将单参数Lie群变为了平移群，这一性质常被用来求微分方程的解。在解方程的时候，通过合理选取正则坐标不但可以使微分方程达到降阶的目的，而且在特定的领域上可以反映体系的物理本性。本文将正则坐标方法的应用拓展到约束力学系统，包括拉格朗日系统，非保守系统和非完整系统，该方法为求系统的守恒量提供了一种途径，并且通过选取不同的正则坐标，获得不同的系统守恒量。首先，作为对正则坐标方法的应用在约束力学系统的拓展，本文从建立求完整系统的正则坐标的方程出发，包括单自由度完整系统和n自由度完整系统,根据Lie对称性理论与正则坐标之间的联系建立了求解正则坐标的方程，最后利用正则坐标的定义和相关性质，根据降阶的需求选取合适的坐标得到了系统的第一积分基本形式，并利用多个例子说明了正则坐标方法在完整系统中的应用。然后，我们研究了非完整系统守恒量的正则坐标方法求解。对于非完整约束力学系统，基于微分方程在单参数Lie点变换群的无限小变换下的不变性，通过确定方程和限制方程得到了生成元，然后根据正则坐标的定义和相关性质，通过选取合适的正则坐标，建立了系统的守恒量表现形式。最后，所给出的例子将很好的说明正则坐标方法在非完整系统中的应用。最后，我们利用拉格朗日对称性解决了非完整系统的守恒量问题，并且获得了新的守恒量。在获得约束系统运动方程的基础上，假设其拥有特殊Lie变换群，通过确定方程和约束方程得到满足条件的生成元。然后根据拉格朗日对称性的定义和性质，建立了非完整系统的拉格朗日对称性的判据，同时给出了可以由对称性导致守恒量需要满足的条件，最后给出了系统守恒量的表现形式。本文的最重要的成果有四点：第一，得到了单参数Lie点变换群和正则坐标方法之间的关键结合点；第二，推导出约束力学系统的正则坐标方程并获得系统相应的正则坐标；第三，构造得到单自由度和多自由度约束力学系统的守恒量表达形式；第四，在动力学系统领域，应用新的拉格朗日对称性理论得到系统新的守恒量。本文的创新点：（1）成功将正则坐标方法的应用拓展到力学领域（2）首次利用正则坐标方法解决了多自由度约束力学系统的守恒量问题，其中包括完整系统和非完整系统（3）利用一种全新的拉格朗日对称性求得非完整约束力学系统的守恒量，拓展了拉格朗日对称性的应用范围。
【作者】高芳；
【导师】傅景礼；
【作者基本信息】浙江理工大学，基础数学，2014，硕士
【关键词】约束力学系统；正则坐标；守恒量；Lie对称性；拉格朗日对；

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